А нужно ли возиться с 24-й степенью потенциальной функции при решении дифференциального уравнения Шрёдингера?

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­Вот - для примера возьмём такой потенциал Морзе:



Если аппроксимировать этот потенциал Морзе квантовым гармоническим осциллятором, то есть в разложении в ряд Тейлора выбросить все члены со степенями выше, чем 2, то получим:



Нулевое собственное число для такого потенциала (квадратичная парабола) равно  , а нормированная нулевая собственная функция для такого потенциала имеет вид - нормированная, это значит, что интеграл от квадрата собственной функции по области её определения равен единице:


А также следует заметить, что первое собственное число равно  , второе собственное число равно , и разности между вторым и первым и первым и нулевым практически равны:

 , как и должно быть для квантового гармонического осциллятора.

Если аппроксимировать этот потенциал Морзе квартичным ангармоническим осциллятором, то есть в разложении в ряд Тейлора выбросить все члены со степенями выше, чем 4, то получим:



Мы видим, что коричневая пунктирная кривая из симметричной стала более асимметричной, хотя пока и незначительно. Нулевое собственное число для такого потенциала (асимметричная квартичная парабола - четвёртой степени) равно уже не  , а уменьшилось до  , а нормированная нулевая собственная функция для такого потенциала имеет вид



Мы видим, что пик собственной функции чуть-чуть сдвинулся вправо, левый хвост её чуть-чуть прижался к оси ординат, а правый хвост её чуть-чуть отодвинулся от оси ординат.

А также следует заметить, что первое собственное число равно уже не  , а уменьшилось до  , второе собственное число равно уже не  , а уменьшилось до  , и разности между вторым и первым и первым и нулевым равны  и  . А не 5.65 .

Если аппроксимировать этот потенциал Морзе ангармоническим осциллятором с 6-й степенью, то есть в разложении в ряд Тейлора выбросить все члены со степенями выше, чем 6, то получим:



Нулевое собственное число для такого потенциала (асимметричная парабола 6-й степени) равно уже не   и не  ,  а , а нормированная нулевая собственная функция для такого потенциала имеет вид - нормированная, это значит, что интеграл от квадрата собственной функции по области её определения равен единице:



...
...
...

Мы, действуя таким образом, постепенно дойдём до того случая, когда потенциал Морзе будет аппроксимирован ангармоническим осциллятором с высшей его степенью, равной 22, то есть то есть в разложении в ряд Тейлора выбросить все члены со степенями выше, чем 22, и получим:



Нулевое собственное число для такого потенциала (асимметричная парабола 22-й степени) равно уже не и не  и не  - а  , а нормированная нулевая собственная функция для такого потенциала имеет вид - нормированная, это значит, что интеграл от квадрата собственной функции по области её определения равен единице:



А также дойдём и до того случая, когда потенциал Морзе будет аппроксимирован ангармоническим осциллятором с высшей его степенью, равной 24, то есть то есть в разложении в ряд Тейлора выбросить все члены со степенями выше, чем 24, и получим:



Нулевое собственное число для такого потенциала (асимметричная парабола 24-й степени) равно уже не и не и не   и не  , а   -  нормированная нулевая собственная функция для такого потенциала имеет вид - нормированная, это значит, что интеграл от квадрата собственной функции по области её определения равен единице:



Надо заметить, что нормированные собственные функции здесь визуально перестают отличаться уже практически начиная с собственной функции для потенциала с высшей степенью, равной 4, далее 6, и др., а тем более трудно найти различие между собственными функциями с высшей степенью, равной 22 и 24.

Здесь можно заметить, что числа   и  практически равны - разница между ними в 13-м знаке после запятой, на уровне погрешности вычислений. К тому же вроде бы - как бы началось возрастание собственного числа - хотя и крайне незначительное, что тоже говорит о погрешности вычислений. Хотя до этого шло явное убывание. Так нужно ли - возиться с 24-й степенью потенциальной функции при решении дифференциального уравнения Шрёдингера? Особенно если учесть, что сложность алгебраических записей для элементов диагоналей - крайне резко возрастает при переходе от 22-й степени к 24-й, даже по сравнению с переходом от 20-й степени к 22-й, тем более по сравнению с переходом от 18-й степени к 20-й, по сравнению с переходом от 16-й степени к 18-й и так далее.

Здесь нужно заметить, что, в соответствии с точной формулой собственных чисел для потенциала Морзе  - вычисляем  - нулевое собственное число для потенциала Морзе с таковыми выбранными параметрами. Здесь принято -  - потенциал Морзе,    

Сравниваем:  и  - а также  - можно считать, что знаки 2.7884271244746  в данном случае точные.

И всё же 24-я степень полезна - когда ищется собственное число, например, для функции   - см. https://www.chitalnya.ru/work/3498569/